듀레이션(Duration) _ 2

*수정 듀레이션(Modified Duration), 맥컬레이 듀레이션(Macaulay Duration) 내용은 링크(듀레이션_1) 확인

금액 듀레이션(Dollar Duration)

수정 듀레이션은 금리 변화에 따른 채권 가격의 변화율(%)을 나타낸다. 한편 채권 투자자는 가격의 '변화율(%)' 뿐 아니라 가격의 '변동 금액' 그 자체를 알아야 할 수 있다. 수정 듀레이션 식을 다시 보면,
$$\frac{dP}{dr}\frac{1}{P}=-Modified\:duration$$
양 변에 P를 곱하면
$$\frac{dP}{dr}=-Modified\:duration*P$$
이 식의 우변을 금액 듀레이션(또는 달러 듀레이션; Dollar Duration)이라고 한다.
$$Dollar\:duration=-Modified\:duration*P$$
양 변에 Δr을 곱하면
$$dP = (-modified\:duration)*P*dr$$ $$dP = dollar\:duration*dr$$
금액 듀레이션은 수익률의 미세 변화에 따른 채권 가격 변화분 추정에 유용하다.

유효 듀레이션(Effective Duration)

앞서 언급했듯이, 수정 듀레이션(Modified Duration)은 '금리 레벨에 상관없이 고정된 미래 현금흐름이 발생하는' 채권의 금리 민감도이다. 따라서 수정 듀레이션은 금리 레벨이 변함에 따라 미래 현금흐름이 변할 수 있는 옵션부 채권 (Bond with embeded option)의 민감도 측정 지표로는 부적합할 것이다. 콜옵션부 채권(Callable Bond)는 시장 금리가 하락할 때 발행인의 조기상환 옵션을 통해 만기 이전 상환이 이루어질 것이다. 풋옵션부 채권(Puttable Bond)는 반대로 금리 상승 시 투자자의 조기상환 옵션으로 조기 상환이 이루어질 것이다.

옵션부 채권의 금리 민감도를 가늠할 수 있는 지표로 유효 듀레이션을 사용한다.
$$ Effective\:Duration = \frac{P_{(-\Delta y)} - P_{(+\Delta y)}}{2P_{0}\Delta y} $$
\( P_{(-\Delta y)} \): 금리가 \( \Delta y \)만큼 하락했을 때의 채권 가격
\( P_{(+\Delta y)} \): 금리가 \( \Delta y \)만큼 상승했을 때의 채권 가격
\( P_{0} \): 채권 현재가격
\( \Delta y \): 금리 변동

금리 변화로 인한 옵션부 채권의 새로운 가격 \( P_{(-\Delta y)}, P_{(+\Delta y)} \)는 이항모형, 시뮬레이션과 같은 밸류에이션 방식을 통해 구할 수 있다.

왜 듀레이션이 필요한가?

듀레이션을 학습하며 다음과 같은 의문이 떠오를 수 있다.

  1) 수익률이 주어지면 채권 가격을 금방 계산할 수 있는데(ex. 동 사이트의 채권가격계산기 처럼) 금리 변동에 대한 채권가격 민감도 지표로써 듀레이션이 의미가 있는가?   2) 유효 듀레이션(Effective Duration)은 왜 필요한가? 수정 듀레이션(Modified Duration)은 수익률 변화에 따른 채권 가격 변화를 추정하는 것에 의미가 있는데, 유효 듀레이션은 변동된 금리의 채권 가격을 먼저 구한 뒤 유효듀레이션을 구한다.

현대는 엑셀을 비롯한 각종 프로그램으로 채권가격 계산을 쉽고 빠르게 할 수 있다. 그러나 이런 소프트웨어가 보급되지 않았던 시대에는 채권 가격 계산이 쉽지 않았으며, 특히 정기 이자지급일 사이의 특정일에 가격 계산을 한다면 경과일수(days)를 감안한 가격 계산에 많은 시간과 노력이 필요했다고 한다. 위험관리를 위해 금리 변화가 가격에 얼마만큼 영향을 미치는지 알 필요가 있는 상황에서, 듀레이션의 발견은 시간과 비용을 획기적으로 줄여주는 발견이었을 것이다. 현재에도 빠른 계산과 종목 간 금리노출도의 손쉬운 비교에 있어서 매우 유용하게 사용된다.

유효 듀레이션은 옵션부 채권의 금리 민감도를 하나의 숫자로 요약하여 보여준다는 점에서 의미가 있으며 이를 통해 종목 간 비교분석이 가능하다. 또한 금리위험 회피 전략(Hedging), 자산부채관리(ALM; Asset Liability Management), 면역전략(Immunization)을 사용함에 있어 듀레이션이 기초가 되는데, 옵션부 채권의 경우 유효 듀레이션을 기초로 하여 선물 포지션을 계산하게 된다.

한편 채권 매니저는 여러 종목으로 구성된 채권 포트폴리오를 운용할 것인 바, 포트폴리오의 금리 위험을 측정하고 관리할 필요가 있다(여기서는 수익률 곡선의 평행이동). 포트폴리오의 듀레이션은 각 종목 듀레이션의 가중평균이므로 모든 종목의 듀레이션을 알 필요가 있다. 이 때 편입된 종목이 옵션부 채권이라면 유효 듀레이션을 적용하여 전체 포트폴리오의 듀레이션을 구한다. 만약 어떤 투자자가 채권형 펀드 투자를 검토한다면, 위 방식으로 계산된 채권형 펀드의 듀레이션을 상품별로 비교하여 투자자가 원하는 금리 노출도를 선택할 수 있다.

포트폴리오 듀레이션(Portfolio Duration)

포트폴리오의 듀레이션은 포트폴리오 내 보유하는 채권의 가중평균 듀레이션이다. 포트폴리오 내 옵션부 채권이 있다면 수정 듀레이션이 아닌 유효 듀레이션(Effective duration)을 적용하여아 하며, 변동금리 채권의 경우엔 다음 이자지급일까지의 기간을 듀레이션으로 사용한다(실무에서 변동금리채의 듀레이션을 수정듀레이션으로 쓰기도 한다). MBS와 같이 원금상각형 채권 또한 Negative Convexity를 반영한 유효 듀레이션(Effective duration)을 쓴다.

채권	시가평가(market value)	비중	듀레이션(duration)	듀레이션 공헌 (contribution to portfolio duration)
가	200억	0.2	3	0.60
나	300억	0.3	8	2.40
다	100억	0.1	1	0.10
라	500억	0.4	7	2.80
합계	1000억	1.0	-	5.40